[LA] Beweisaufgabe - Determinanten

[MagicMagor]

Hallo,

da es sowohl Zeittechnisch als auch punktetechnisch (was die Klausurzulassung angeht) bei mir mittlerweile recht knapp wird und ich hier momentan ziemlich auf dem Schlauch stehe, wende ich mich mal ans Forum. Ich will nicht daß ihr mir hier die Aufgabe vorrechnet, aber irgendwie fehlt mir momentan der Ansatz.

Gegeben ist ein Körper K und eine Abbildung f von GL(2, K) nach K*, wobei jede Matrix auf ihre Determinante abgebildet wird.
Zu zeigen ist nun, daß diese Abbildung einen Gruppen-Homomorphismus bildet (bezüglich der Multiplikation auf Seiten von K).
Das Problem ist, daß ich nicht weiß ob ich den Satz, daß det(A)*det(B) = det(AB) ist, benutzen darf. Falls ja wäre der Beweis einfach, aber ohne den Satz bin ich momentan etwas überfragt.

Genau geht es mir darum zu zeigen daß f(AB) = f(A)*f(B) ist bzw. f(A^-1) = f(A)^-1 wobei eine der Gleichheiten schon genügt (die andere kann ich dann problemlos damit beweisen).

Über Ansätze oder Tipps jeglicher Art würde ich mich freuen.

[TheBiber]

Das Problem ist, daß ich nicht weiß ob ich den Satz, daß det(A)*det(B) = det(AB) ist, benutzen darf. Falls ja wäre der Beweis einfach, aber ohne den Satz bin ich momentan etwas überfragt.

Ist es nicht so, dass du genau eben das zeigen musst, um zu zeigen, dass die Abbildung ein Gruppenhomomorphismus ist? Als Ansatz würde ich einfach mal die rekursive Definition der Determinante verwenden und mit allgemeinen Matrizen rechnen. Nach einem komplizierteren Herumgewurschtel müsste sich die genannte Identität zeigen lassen.

[noRkia]

wenn die mit GL(2,k)
die menge der invertierbaren 2x2 matrizen meinen dann ist es doch ganz einfach.
du schreibst also einfach matrizen A,B aus.also ihrer klammerschreibweise so das man die 4 einträge sieht die mit a11,a12... und b11.. etc benannt sind.

dann berechnest du die determinanten.klar das ist bei 2x2 matrizen besonders einfach :)
dann nimmst du diese ergebnisse mit einander mal,es ergibt sich ein kompliziertes ergebnis das summe von produkten von körper elemten ist.also wieder im körper ist.
dann berechnest du die matrix A*B und dann berechnest du ihre determinante.
dann forme und klammere noch so um das man sieht das es gleich ist und schreib an die linke seite det(A) x det(B) und rechts det(A*B).

das * ist die multiplikation von matrizen,also in GL(n,K) und das
x soll hier das normnale MAL im körper sein.
das muss gekennzeichnet sein damit du zeigst das du alles verstanden hast.


ps: ohoh die zulassung,besonder problematisch bei mit in analysis III -.-
falls die klausur in den ferien ist,schreib einfach ab und versuche den stoff soweit wie möglich mit zu pauken und konzentriere dich dann in den ferien
richtig auf das verstehen der lösungen.keine löbliches forgehen,aber wenigstens darf man so überhaupt mitschreiben und wenn man die zulassen nicht kriegt und dann in den ferien pauken will,ohne das man müsste,macht mans meistens doch nicht :)

[MagicMagor]

Ich hatte zuerst auch versucht einfach zwei allgemeine Matrizen zu nehmen und zu zeigen, daß die Determinante ihres Produkts das Produkt ihrer Determinanten ist, bin dabei aber relativ früh gescheitert.

Nachdem ich das ganze heute noch einmal angegangen bin (und etwas bessere Bezeichnungen genommen habe), hat es geklappt. Ich muss mich gestern also einfach irgendwo verrechnet haben bzw. verguckt haben.

Ich hatte halt gedacht, daß es irgend einen Trick gibt um den Homomorphismus zu beweisen, ohne diese Determinanten explizit auszurechnen - u.A. deswegen weil der Tutor meinte das drei von den vier Aufgaben des Blattes auf einer Seite zu erledigen seien. (zumindest wenn man sehr kompakt schreibt)

@norkia
Mit dem Verstehen habe ich wenig Probleme, wie man sieht war ja auch bei dieser Aufgabe der Fehler relativ simpel (irgend ein Flüchtigkeitsfehler). Ich habe nur bei einigen Blättern sehr wenig abgegeben (Teils zeitbedingt, ich habe noch einige andere Vorlesungen - teils auch Faulheit) und ich bin mir daher nicht sicher ob ich die, eigentlich locker erreichbaren 32% schaffe. Insofern wird es Zulassungstechnisch etwas eng, daß ich jetzt bei den letzten 4-5 Blättern möglichst alle Aufgaben bearbeite.
Die Klausur ist im übrigen nicht in den Ferien, sondern genau am Ende der Vorlesungszeit (sogar an einem Samstag). Das eine normale erste Klausur in den Ferien ist, habe ich bisher noch nicht erlebt (gut ausgenommen Info2, aber da hat man mit dem Programmierprojekt auch deutlich mehr Aufwand für die Zulassung).

[noRkia]

"Das eine normale erste Klausur in den Ferien ist, habe ich bisher noch nicht erleb"

du armer kerl ;/
bei uns ist im sommersemester mathe immer erst 5 bis 8 wochen nach semesterferienbeginn :)
im winter ist es genau am anfang :(