Turgons Studienfragen(Heute: Mathematik)

[Turgon]

Moie,
ich komme grad bei ein paar Matheaufgaben nicht weiter und weiß nicht wieso...
Das momentane Thema ist Reihen. Wenn ich summe() schreibe, dann meine ich eine Summe, bei der der Index n von 1 bis Unendlich läuft
1. Man kann ja eine Reihe summe(an+bn) aufteilen zu, summe(an)+summe(bn). Wenn beide Summen konvergieren, konvergiert ja auch die Anfangsreihe. Was ist jetzt, wenn z.b. summe(bn) divergiert?
Divergiert dann auch summe(an+bn)?

2. Wenn ich folgende Reihe habe summe(-e/pi)^n), kann ich sie doch als geometrische Reihe betrachten oder? Also als summe(q^n) mit q=-e/pi
Dann würde doch folgende Formel gelten, um den Grenzwert zu berechnen:
1/(1-q)
Wenn ich dann dort für q -e/pi einsetze, komme ich auf
pi/(pi+e), während mein Taschenrechner mir
-e/(pi+e) als Ergebnis anzeigt.
Könnt ihr mir sagen, wo mein Rechenfehler liegt? e steht btw für die eulersche Zahl und pi eben für pi;)

Schonmal Danke im Voraus.

mfg Turgon

[Zelretch]

Die Summe (an + bn) dürfte divergieren. Im Grunde genommen summiert sich ja zu jedem b(n) nur noch der Grenzwert von a(n) , für extrem große Werte von n.

[YoshiGreen]

ad 1)
\lim (a+b) = lim(a) + \lim(b) :)

ad 2)
Kannst du nochmal zeigen was genau du in den Taschenrechner eingibst?

[Turgon]

@Zeltrech: So hab ichs mir auch gedacht, weil es ja einfach nur logisch ist, aber man weiß ja nie, was für Gemeinheiten die Mathematik dann plötzlich offenbart^^
@YoshiGreen: Deiner Antowort zu eins entnehme ich, dass ich richtig liege, glaube ich zumindest:D
Das gebe ich in den Taschenrechner ein:
summe((-e/pi)^n,n,1,unendlich) Was in Worten so viel heißt wie, die Summe summiert alle (-e/pi)^n von 1 bis unendlich. Per Hand erhalte ich aber ein anderes Ergebnis und ich verstehe nicht wieso-.-
Kann ich das etwa nicht als geometrische Reihe betrachten?

[gas]

Wenn beide Summen konvergieren, konvergiert ja auch die Anfangsreihe. Was ist jetzt, wenn z.b. summe(bn) divergiert?
Divergiert dann auch summe(an+bn)?
Wenn a_n konvergiert und b_n divergiert, dann divergiert auch a_n + b_n, siehe Zelretch.
Es kann aber vorkommen, dass die Summe zweier divergenter Folgen konvergiert. Zum Beispiel: a_n = n, b_n = -n, Dann ist a_n + b_n = 0 für alle n \in \mathbb{N} und damit konvergent.


ad 1)
\lim (a+b) = lim(a) + \lim(b) :)
Gilt aber nur, wenn a_n und b_n konvergieren. Bei bestimmt divergenten Folgen (Folgen, die gegen +\infty oder -\infty konvergieren) bekommt man ein Problem, wenn die eine gegen +\infty und die andere gegen -\infty konvergiert (weil \infty - \infty nicht sinnvoll definiert werden kann). Und sobald eine der Folgen unbestimmt divergent ist, ist diese Rechenregel eh kaum noch zu retten.

[Turgon]

Ok, vielen Dank für die Hilfe.
Kann mir vllt noch jemand mit meinem geo. Reiheproblem helfen?

[Tabris]

Die bekannte Formel für die geometrische Reihe setzt voraus, dass von 0 bis unendlich summiert wird, d.h. du berechnest \sum_{i=0}^\infty \left(\frac{-e}{\pi}\right)^i = \frac{\pi}{\pi + e} (der erste Term in deiner Reihe ist \left(\frac{-e}{\pi}\right)^0 = 1.

Im Taschenrechner gibst du die Summe jedoch so ein, dass bei i = 1 angefangen wird zu summieren. Du erhälst so als Grenzwert \sum_{i=1}^\infty \left(\frac{-e}{\pi}\right)^i = \sum_{i=0}^\infty \left(\frac{-e}{\pi}\right)^i -1 = \frac{\pi}{\pi + e} - 1 = -\frac{e}{\pi + e}.

[Turgon]

Perfekt, vielen Dank! Darauf hätte man ja eigentlcih auch selbst kommen können, weil es ja ziemlich logisch ist^^'

[Turgon]

Moie,
ich hab mal wieder eine Frage.
Wenn ich einen Vektor normieren will, der auch komplexe Einträge hat, muss ich dann die Länge genauso ausrechnen, wie bei einem Vektor mit reellen Zahlen oder funktioniert das anders?

mfg Turgon

[noRkia]

kommt drauf an in welcher norm du rechnest :)

ich nehme an du rechnest in der euklidschen norm.bei dieser wird bekannterweise der betrag jeder komponente quadriert,daraus die summe gebildet und dann aus allem die wurzel gezogen.

du musst also zunächst die beträge,sprich die länge,der einträge berechenen.dies ist leicht,da jede komplexe zahl sich ja mit einem 2 dimensionalen reellwertigen vektor assoziieren lässt.

die länge von a + bi ist einfach sqrt(a^2 + b^2), klar oder?

[Turgon]

@noRkia: Hab mich vergessen zu bedanken, sorry. Das hat mir damals sehr weiter geholfen. vielen Dank.

Aber ich hab schon wieder eine neue Frage^^'

Dieses Mal geht es um Wegintegrale.
Und zwar habe ich einen vorgegebenen Weg, der dieSumme aus drei anderen Wegen ist.
In unserem Matheskript wurde die Summe von Wegen nur so definiert, dass z.B. Weg X im Intervall [a,b] definiert ist und Y im Intervall [b,c] und man dann aus diesen beiden die Summe bilden kann.
Jetzt überschneiden sich bei meinen vorgegebenen Wegen(also die drei aus denen sich der summierte Weg ergibt) die Intervalle.
Wie geht man an sowas ran?
Ich weiß, dass ich das Wegintegral aus einander ziehen kann und jeden Summanden der Summe einzeln integrieren kann.. Gilt das auch, wenn sich die Intervall der Wege überschneiden?
Außerdem soll ich den Weg noch skizzieren, soll ich dann einfach alle drei Wege einzeln zeichnen und sagen, dass ist die Summe oder muss man die noch irgendwie verbinden?
Schonmal Danke im Voraus.

mfg Turgon

[noRkia]

poste doch einmal die aufgabe konkret.

die summe von wegen?
ich kenne das nur so das du zwei wege H(t) und G(t) hast die auf den intervallen [a,b] und [b,c] definiert sind und du die summe über die integrale bilden kannst wenn:

H(b) = G(b).das heisst also wenn der endpunkt des ersten weges der startpunkt des zweiten weges ist.

so kenne ichs nur.

in welchem zusammengang brauchst du es denn? eine funktionentheorie vorlesung ? oder was einfachereres?

[Turgon]

Ok, hier ist die Aufgabe:
http://i.min.us/jd4kPQ.PNG (http://min.us/ld4kPQ)

Mir geht es um Teil c) und d).
Ich kann mir eben nicht erklären, wie ich die drei Wege summieren soll, wenn sich die Grenzen überschneiden.
Ich kenne die Summe von Wegen eben auch nur wie du.

[noRkia]

ich glaube die meinen,dass du die graphen an einander kleben sollst.

setzte doch einmal die anfangs und endwerte der jeweiligen intervalle in den entsprechenden weg ein.
welche punkte erhälst du?

ausserdem lassen sich die wege auf "zwei weisen" zeichen.

1.du betrachtest den graph der funktion X etc.im dreidimensionalen.

2.du betrachtest die projektion des graphs entlang der t-achse.

es ist fast immer das zweite gemeint.ich denke,dass ist auch hier so,denn im dreidiemnsionalen ist die summe der graphen offensichtlich nicht
wegzusammehängend.

wenn du einen entsprechenden satz in der vorlesung hast,müsste nach dem zeichnen der wert des integrals leicht zu berechnen sein.

übrigens kannst du bei einer R² -> R² funktion einfach wie bei einer komplexen funktion integrieren.sonst wüsst ich auch nicht wie man das wegintegral lösen soll.

ich persönlich hätte mir der a) mehr probleme ^ ^

[Turgon]

Ach verdammt, wie einfach das doch ist^^'
Ich hab nur auf die Intervalle geachtet und nicht die Punkte mal eingesetzt:D
Ich muss noch viel lernen^^
Vielen Dank.

[noRkia]

aha dann is es wohl geklärt.

welchen wert hat nun deiner meinung nach das integral?

[Turgon]

So da bin ich mal wieder mit einer neuen Frage.
Es geht um Extrema unter Nebenbedinungen, wobei die Funktionen von mehreren Verränderlichen abhängen können.
Wir haben in der Vorlesung gelernt, wie man solche Aufgaben mithilfe der Lagrange-Funktion lösen kann.
Ich erhalte immer Werte für x und y, aber weiß nie wie ich nun rausfinden kann, ob es für die Werte nun ein Minimum oder Maximum ist.
Z.B. folgende Aufgabe:
Man soll die Extremwerte von f(x,y)=e^(x+2y) bestimmen unter der Nebenbedingung x^2+y^2-4=0.
Ich hab für x = +-2/wurzel(5) und für y = +-4/wurzel(5) raus, aber jetzt hänge ich wieder fest, weil ich nicht entscheiden kann, was Maximum und was Minimum ist. Gibt es da eine allgemeine Formel?

mfg

[retrogamer]

Du kannst für jeden der vier Punkte die Nebenbedingung nach x (oder y ) auflösen (so, dass das Vorzeichen passt) und in f einsetzen.
Dann kannst Du wie bei einer Funktion von einer Variablen die zweite Ableitung betrachten.

[Turgon]

Moie,
ich hab mal wieder ein Frage und zwar geht es um folgende Aufgabe:
http://i.minus.com/jrNbLXjrIDqvf.PNG (http://min.us/lrNbLXjrIDqvf)

Das Wegintegral konnte ich berechnen von beiden Mengen, in dem ich den Rand einfach parametrisiert habe.
Wenn cih den Satz von Green anwenden will, hab cih aber Probleme mit der Rotation.
Ich hab die Rotation von der Fläche ausgerechnet, in dem cih einfach die Fläche bei z.B. K mit x=r*cos(t) und y=r*sin(t) parametrisiert habe. Wenn ich dann aber das Integral ausrechne, kommt null heraus-.-
Wo liegt mein Fehler?
UNd eine andere Frage hab ich auch noch zu der Aufgabe. Wenn man die Wegintegrale ausrechnet, sollte doch der Flächeninhalt der Mengen rauskommen oder? Das ist bei mir zwar der Fall, aber er ist negativ^^'
Danke schonmal im Voraus!