Stochastik-Problem ^ ^

[noRkia]

hi

erstmal die aufgabe:

eine firma stellt irgendwas mit einem ausschuss von 10% her.
wieviel dinger müssen midestens entnommen werden damit man mit mehr als
90% wahrscheinlichkeit mindestens 5 davon erhält.


ähnliche aufgaben kann ich ohne probleme lösen.da ist aber immer nur nach 1 ding gefragt und nicht nach 5.

normalerweise also:

p^n = 1-(gewünschte wahrscheinlichkeit pw)

--> n = ln 1 (pw) : ln (p)

wie soll das dann hier aussehen?

[Zerwas]

Okay, also, das ist binomialverteilt. Das Ding was du rausziehst ist entweder kaputt oder es ist ganz. Die Wahrscheinlichkeit ist p= 1/10. Du hast eine Probe von n Teilen. Diese Zahl willst du rausfinden. Von diesen n Dingern sollen mindestens k=5 kaputt sein - und zwar mit einer Wahrscheinlichkeit von 90%.
Das heisst, du schnappst dir jetzt deine kumulierte Binomialtabelle (wahrscheinlich hinten in deinem Stochastik-Buch) für F(n, 1/10, 5)>=0.9 Da guckst du, wo bei k=5 eine Wahrscheinlichkeit von 90% oder mehr steht.

[noRkia]

ich glaube nicht das sich das so einfach lösen lässt ^ ^
das war nämlich ein teil meiner letztjährigen abiturklausur die ich mir jetzt nochmal zum üben ergattert hab.

es geht darum man zieht 4 dinger die ok sind (je zu 90%)
und dann ein par mal welche die nicht ok sind und dann soll die wahrscheinlichkeit quasi 90%sein damit man beim nächsten zug 5 gezogen hat.
das fand ich letztes jahr schon blöd -.-

[Zerwas]

Hm.. ich glaub aber doch, dass es so einfach ist :3
Nur, dass du dann halt mit p=9/10 arbeiten musst (dachte, es ginge um die kaputten Dinger).
Du kannst natürlich auch alternativ die Wahrscheinlichkeiten für alle Fälle von Hand aufsummieren und dann nach n auflösen, aber das ist vom Prinzip her genau dasselbe nur viel, viel komplizierter.
Nur, weil eine Aufgabe in einer Abiturklausur drankommt, heisst das nicht, dass sie schwer ist (in unserem Abitur mussten wir beschreiben (Worte!), wie wir eine Umfrage unter Schülern zum Thema Computergestalten würden und die Wahrscheinlichkeit des Fehlers erster Art und des Fehlers zweiter Art berechnen.). Die Aufgaben im Abitur (besonders Stochastik) sind meist viel einfacher als das, was man von der Unterrichtseinheit gewohnt ist.
Hast du denn die Lösung für diese Aufgabe oder kannst sie besorgen? Es bringt leider nicht viel, hier herumzuraten und am Ende dann doch nicht zu wissen, obs stimmt ;)

[derBenny]

Es handelt sich um eine Binominalverteilung, wobei

P(X=k) = (n über k) * p^k * (1-p)^(n-k)

die allgemeine Formel ist.
wieviel dinger müssen midestens entnommen werden damit man mit mehr als
90% wahrscheinlichkeit mindestens 5 davon erhält.Mathematisch formuliert bedeutet das

P(n, pA=0,1, X>=5) > 0,9

n: Anzahl der Ziehungen, unbekannt
pA: Wahrscheinlichkeit für einen Ausschuss
X: Zufallsvariable, hier Anzahl der fehlerhaften Produkte

Das ist äquivalent zu

P(n, pA=0,1, X<5) <= 0,1

Jetzt musst die die kumulierte Wahrscheinlichkeit von X=0 bis X=4 in Abhängigkeit von n formulieren. Du kannst es als Summe der jeweiligen Wahrscheinlichkeiten aufschreiben

P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)
Du kannst es wahlweise auch mit Summenzeichen aufschreiben, wenn dein TR das kann. Nun setzt du einfach mal willkürlich n ein und kuckst, wann gerade noch ein Wert <= 0,1 rauskommt.

Wenn du einen Grafiktaschenrechner hast, dann hast du vielleicht ein Statistikmenü (bei Casio STAT). Wenn du dort dein Unterpunkt DIST und dann BINOMINAL auswählst, dann kann dir der Rechner die Arbeit erleichtern: Einfach X und pA eintippen und für verschiedene n durchprobieren.

Ich habe dabei n=78 rausbekommen.

[noRkia]

"Nun setzt du einfach mal willkürlich n ein und kuckst, wann gerade noch ein Wert "

stimmt so geht es.wenn man aber nur nen normalen taschenrechner hat und beispielsweise mal bei n = 10 anfängt kann man aber lange ausprobieren.

[derBenny]

"Nun setzt du einfach mal willkürlich n ein und kuckst, wann gerade noch ein Wert "

stimmt so geht es.wenn man aber nur nen normalen taschenrechner hat und beispielsweise mal bei n = 10 anfängt kann man aber lange ausprobieren.Die Formel einzutippen ist ohne Summenzeichen und ohne (a über b)-Zeichen tatsächlich eine mühsame Arbeit, aber wenn du es erst einmal hast, brauchst du ja nur noch n zu verändern und zu sehen, was rauskommt.
Wählst du n=10, dann bekommst du 0,9984 raus, was viel zu hoch ist. Also setzt du 100 ein, dann bekommst du 0,0237 raus, zu niedrig, denn du willst ja 0,1000 rausbekommen. So kannst du dich langsam annähern, du musst ja nicht alle Werte ausprobieren.

Aber es stimmt schon, mit einem normalen TR, der die Eingabe von Funktionen nicht erlaubt, ist das recht umständlich. Ich wüsste jedoch nicht, wie man die Aufgabe anders lösen sollte.


Nachtrag:
Ich habe noch gedacht, dass man eventuell Normalverteilung annehmen könnte und dann die Tabellenwerte für Φ zur Hilfe nimmt, aber das wird zu ungenau, weil die Laplace-Bedingung sqrt(n*p*(1-p))>3 nicht erfüllt ist.
Ansonsten müsste der erste Vorschlag von Zerwas tatsächlich zur Lösung führen, sofern du eine solche Tabelle hast.