Hallo Leute,
da ich oft gefragt werde, warum ich denn im Studium soviel mit Mathematik zu tun habe, hier die Erklärung. Es dient letztendlich dazu festzustellen, ob sich irgend etwas auswirkt - oder ob die Ergebnisse alleine dem Zufall entstammen. Da ich dazu mal einen längeren Beitrag geschrieben habe (um die Behauptungen eines Troll in einem anderen Forum in einem ganz anderen Zusammenhang zurechtzubiegen), erkläre ich am einfachen Beispiel eines Münzwurfs ein bißchen grundlegende Statistik. Vielleicht nehmt ihr ja vielleicht sogar war daraus mit fürs Leben, oder einen philosophischen Abend. Viele Zeitschriften z.B. halten sich an dieses grundlegenste aller statistischen Gesetze nicht, weshalb man sie mit Vorsicht genießen sollte.
Das Gesetz der großen Zahl
Stellen wir uns ein einfaches Zufallsexperiment vor, meinetwegen per Zufallsgenerator am PC simuliert. Und zwar einen einfachen Münzwurf, Kopf (K) oder Feigenblatt (F).
Wenn bei fünf Durchgängen FFFFKF drankommt, ist das dann wahrscheinlich?
Ja.
Wenn bei fünf Durchgängen KFKKFF drankommt, ist das dann wahrscheinlich?
Ja.
Gibt es einen Unterschied in den Wahrscheinlichkeiten (Wk)? Nein. Für jede beträgt die Wk gerundet 0.03
Jetzt stellen wir uns vor, daß wir zwei Zufallsversuche gleichzeitig durchführen, sozusagen zwei Leute Münzen werfen lassen - oder zwei Zufallsgeneratoren gleichzeitig laufen lassen.
Wenn bei den fünf Durchgängen von Experiment 1 KFFFFF drankommt, ist das dann wahrscheinlich?
Ja.
Wenn bei fünf Durchgängen von Experiment 2 KFFKFK drankommt, ist das dann wahrscheinlich?
Ja.
Gibt es einen Unterschied in den Wk? Nein. Für jede beträgt die Wk gerundet 0.03
Ergo: Kein Unterschied feststellbar.
Aber: So bekommt man nie heraus, ob sich irgend etwas unterscheidet, also wendet man das Gesetz der großen Zahl an. Das heißt nichts anderes, als daß man die Leute sehr oft Münzen werfen läßt, ein paar Tage lang. Oder eben die Generatoren sehr oft Würfe simulieren läßt.
Am Ende schreibt man sich auf, wie oft Kopf und wie oft Zahl kam.
Jetzt stellen wir uns folgende Ergebnisse vor:
Versuchsperson 1: K-521 F-479
Versuchsperson 2: K-92 F-908
Gibt es einen Unterschied in der Wk? Nein, jedes Ergebnis ist genau gleich wahrscheinlich (und zwar extremst gering). Tja, und obwohl die Zahlen so unterschiedlich sind, sagen sie doch nichts aus.
Falsch! Das Konzept der Normalverteilung greift da ein. Auch wenn jede einzelne Wk unendlich gering ist, so häufen sich doch bestimmte Ergebnisse, wohingegen andere kaum auftreten. Das Ergebnis ist eine Normalverteilung, eine Art "Glocke". Auf Wikipedia kann man sich eine ansehen. Die Linie ist dabei die gesammelte Wahrscheinlichkeit über theoretisch unendliche Testdurchläufe.
Egal welche Zufallsverteilung man nun für K und P annimmt, z.B. 50:50, die Ergebnisse bei genug Durchgängen gruppieren sich um den Mittelwert. Je mehr Durchgänge es gab, desto eher werden also die erhaltenen Prozentzahlen gleich der hypothetisch angenommen Prozentzahlen (im obigen Beispiel also 500K 500F) sein. Das ist das Gesetz der großen Zahl. Je weiter das erhaltene Ergebnis von diesem Optimum entfernt liegt, desto unwahrscheinlicher wird es, so die Theorie stimmt.
Das heißt gleichzeitig auch: Je weiter von je zwei Zufallsexperimenten die Ergebnisse auseinanderliegen, desto unwahrscheinlicher ist es, daß ihnen dieselbe Wk zugrunde lag. Um im Beispiel zu bleiben, die allermeisten Ergebnisse sind bei 50:50 Chance im Bereich 600K 400F bis 400K 600F zu finden. Ein paar auch noch darunter. Aber ein Ergebnis von 92K 908F ist, so die Chancenverteilung auch in diesem Versuch gleich dem im ersten ist, unwahrscheinlicher als ein 6er im Lotto samt Zusatzzahl - und das mehrfach hintereinander. Sie liegen zwar auch unter der Kurve, aber nicht unter dem hohen Bogen (Kurve = Wk), sondern unter den gaaaanz abgeflachten Enden. Von einem vom Himmel stürzenden Pinguin erschlagen zu werden ist ähnlich wahrscheinlich.
Ergo würde jeder Statistiker sagen, Münzwerfer zwei hätte seine Münze frisiert - beziehungsweise Zufallsgenerator 2 nicht ansatzweise mit derselben Wk arbeiten wie Zufallsgenerator 1.
Gleiches gilt nun auch für psychologische Tests. Es muß sozusagen immer überprüft werden, ob alles Getestete durch den Zufall bedingt war, oder ob z.B. die Behandlungsmethode Auswirkungen hatte - sozusagen die Münze frisiert hat. Besser gesagt den Münzwerfer.
PS: Wenn jemand bis hierher durchgehalten hat, Respekt!
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